Степень многочлена
Что такое степень многочлена? Как определить степень одночлена?
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Обычно, прежде чем искать степень многочлена, его приводят к многочлену стандартного вида, хотя, вообще говоря, это не обязательно.
Итак, чтобы найти степень многочлена:
1) Можно привести многочлен к стандартному виду.
2) Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена.
3) Выбрать наибольшую из этих степеней.
Найти степень многочлена:
Наибольшая из степеней одночленов — 3. Таким образом, это — многочлен третьей степени.
3) Сначала приведем данный многочлен к стандартному виду:
Хотя в алгебре принято упрощать многочлен, приводя его к стандартному виду, степень можно искать и для многочлена, не записанного в стандартном виде.
Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. 20 — одночлен 0-й степени. Следовательно, 20 является многочленом нулевой степени.
Что такое многочлен
Часто путают понятия одночлена и многочлена.
Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом. Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».
Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения. Например, в одночлене: 3ab = 3 · a · b
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.
Примеры многочленов: a + 2b 2 − c; 3t 5 − 4b; 4 − 6xy
Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.
Рассмотрим многочлен подробнее.
Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, если в многочлене присутствует знак минуса.
Это объясняется тем, что на самом деле знак « − » относится к числовому коэффициенту одночлена, который стоит справа от знака.
Любой многочлен можно записать по правилу знаков как сумму одночленов.
В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.
Как найти степень многочлена
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в состав многочлена.
Степени многочленов
| Многочлен | Степень многочлена | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| a 2 − 3a 2 b + x = a 2 (степень одночлена 2) − 3a 2 b(степень одночлена 3 ) + x(степень одночлена 1) | 3 | ||||
x 2 y 2 + 4x 2 =
x 2 y 2 (степень одночлена 4 ) + 4x 2 (степень одночлена 2) | 4 | ||||
| 8x 2 − 3a + 4 = 8x 2 (степень одночлена 2 ) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0) | 2 |
Любой одночлен является многочленом. В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.
Примеры таких многочленов: 2a 2 b; −3d 3 ; a.
Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Рассмотрим еще определения.
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Коэффициенты членов многочлена
Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
СОДЕРЖАНИЕ
Имена многочленов по степени
| Посмотрите Приложение: Степени полиномов английского языка в Викисловаре, бесплатном словаре. |
Следующие имена присваиваются многочленам в соответствии с их степенью:
Для более высоких степеней иногда предлагались имена, но они редко используются:
Примеры
Поведение при полиномиальных операциях
Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов.
Добавление
Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; это,
Умножение
Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; это,
В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности представляет собой сумму их степеней:
Состав
Степень нулевого многочлена
Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :
Вычисляется из значений функции
Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:
Другая формула для вычисления степени f по его значениям:
Расширение до многочленов с двумя или более переменными
Функция степени в абстрактной алгебре
Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле держится нечто более сильное:
Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он следует правилам нормы в евклидовой области.
Многочлены. Действия с многочленами.
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.
Стандартный вид многочлена
Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.
13х 2 –6х+ 11х 2
13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х
6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16
Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:
6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16
Степень многочлена
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.
4с 6 +7а 9 –18х
Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.
13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13
степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.
6а 5 +8ас+2а 5 –11ас
Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.
Сложение и вычитание многочленов
Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.
Пример №7. Выполним сложение многочленов:
6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19
Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:
6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19
Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:
Пример №8. Выполним вычитание многочленов:
7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11
Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:
7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11
Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:
Умножение одночлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.
Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в виде произведения:
выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и получим:
Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:
7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х
92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6
Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).
Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:
Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:
Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:
(8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2
Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.
Разложение многочлена на множители
Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.
Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.
6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)
При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.
Пример №14. Разложим на множители многочлен:
12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3
12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)
Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.
Способ №2. Способ группировки.
Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.
Пример №15. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):
Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:
В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:
Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.
Пример №16. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:
Вынесем общий множитель в каждой группе:
Вынесем за скобки одинаковые выражения:
Пример №17. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)
Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.
Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)
Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)
