комплексные числа что значит z с черточкой

Комплексные числа что значит z с черточкой

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа что значит z с черточкой

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Источник

Числа. Комплексные (мнимые) числа.

Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как .

Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, , ,

, , , .

Действия над комплексными числами.

означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:

У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: . Что было понятней ответ перепишем так: .

Рассчитываем 2-ю разность:

Здесь действительная часть тоже составная: .

Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . В этом случае без скобок никак не обойтись.

Найдем произведение комплексных чисел ,

Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что и будьте внимательны.

Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Очевидно, что .

Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: .

Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.

Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.

Есть комплексные числа , . Найдем частное .

Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Напомним, что и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже имеется , поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается , т.е. .

Из правила, знаменатель необходимо домножить на , и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :

Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой (при ).

Часто перед делением дробь лучше упростить.

Свойства комплексных чисел.

1. Основная теорема алгебры.

У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.

2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.

Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.

Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:

Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.

Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):

Источник