поднятие и опускание индексов тензора

Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора

Порядок индекса Замечания 1: Ордината тензора определяет «нумерацию» этой координаты и вообще. Людмила Фирмаль

Скажем, когда вы поднимаете индекс, вам нужно отметить место между верхом Индекс, где этот индекс встречается. иногда Многие низкие показатели должны знать о высоких и низких позициях Индекс. Это делается с помощью точек, размещенных на месте. Повышенный индекс.

Следовательно, координаты тензора в левой части (8.48) Напишите следующее: A1 ^ 1i2 » q. Например, если первый низкий индекс идет вверх, второй Если есть 100 верхних индексов, результатом будет следующий тензор: A.k \ i \ k2 … kQ Ордината Ai2 i q. Замечание 2.

Использование индекса для понижения индекса Например, координаты тензора G Тензор получен понижением индекса kq с тензором A Последнее местоположение строки нижнего индекса: Замечание 3. Но применять несколько раз и каждый раз Персональный индекс этого тензора.

Следовательно, контравариантная координата xx вектора x равна Получить в результате операции по увеличению показателя ковариации Координата xx этого вектора. В результате вы можете получить ковариантные координаты х \

Операция понижения индекса по контравариантной координате xg. Людмила Фирмаль

Найти результат двойного применения операции подъема Индекс ковариантной координаты g ^ метрического тензора G По силе dzz контравариантная координата того же тензора. Другими словами Вы найдете, что составляет тензор с координатами «GLa / Z- (8-49) Используйте симметрию тензора G при низком индексе.

Найти решение (8.47), g ^ gaj3-9 ^ 9p

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Поднятие и опускание индексов тензора

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Метрический тензор Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях

получим следующее выражение для (х, у):

Таким образом, координаты g ij тензора G могут быть построены по координатам g_ij, и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы).
2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор G используется для операции поднятия и опускания индексов у координат данного тензора А.
Эта операция заключается в следующем.
Пусть А — тензор типа (р, q) с координатами . Для примера покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса i₁. Свернем тензоры G и А по верхнему индексу j у первого тензора и по нижнему индексу i₁ у второго тензора, т.е. построим тензор с координатами и у координат полученного тензора индекс i обозначим через i₁. Затем эти координаты обозначим символами . Таким образом,

Замечание 1. Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерацию» его координат, то, вообще говоря, при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний индекс. Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса. Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса. Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) следовало бы записать следующим образом: .
К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор .
Замечание 2. Операция опускания индекса с помощью метрического тензора G определяется аналогично. Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса k_q на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид:

Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости равенства

Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы g_ij x i y j можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы (g_ij) к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при i ≠ j и единице при i = j. Обозначая эти координаты прежним символом g_ij, получим

а это и означает, что е _i — ортонормированный базис.
В гл. 4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение (х, у) векторов х и у с координатами x i и y j может быть вычислено по формуле

а квадрат длины (х, х) вектора х — по формуле

Обратимся к так называемым ортогональным линейным преобразованиям, т. е. к таким линейным преобразованиям, при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Иными словами, если L — ортогональное преобразование и е _i — ортонормированный базис, то Le_i также образует ортонормированный базис.
Исследуем действие преобразования L на произвольный вектор х = x i e_i. Обозначим через X результат действия L на х:

Используя свойство линейности L, найдем

Так как Le_i — базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор X имеет в базисе Le_i такие же координаты, как и вектор х в базисе e_i, т.е. при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора.
Поскольку Le_i — ортонормированный базис, то скалярное произведение (X, Y) векторов X = Lx и Y = Ly может быть найдено по формуле (8.51), а квадрат длины (X, X) вектора X = Lx — по формуле (8.52). Мы выяснили, что при ортогональных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векторов. Отсюда и из соотношений (8.51) и (8.52) получаем

и рассмотрим всевозможные векторы , определяемые соотношениями

Используя соотношение (8.60) и формулу (8.43) для скалярного произведения векторов, перепишем (8.62) следующим образом:

Формула (8.66) удобна для различных приложений.

Источник

Содержание

Тип тензор

Это достигается путем умножения на ковариантный или контравариантный метрический тензор, а затем сужения индексов, что означает, что два индекса устанавливаются равными, а затем суммируются по повторяющимся индексам (с применением обозначений Эйнштейна ). См. Примеры ниже.

Векторы (тензоры первого порядка)

Умножение на контравариантный метрический тензор g ij и сжатие дает другой тензор с верхним индексом:

Точно так же умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие понижает индекс (с тем же пониманием повторного использования базового символа):

Форма g _ij не обязательно должна быть невырожденной, чтобы понизить индекс, но чтобы получить обратную форму (и тем самым поднять индекс), она должна быть невырожденной.

Повышение и последующее понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что отражается в том, что ковариантный и контравариантный метрические тензоры обратны друг другу:

Мнемонически (хотя и неправильно ) можно представить себе «отмену» индексов между метрикой и другим тензором, и метрику, шагающую вверх или вниз по индексу. В приведенных выше примерах такие «отмены» и «шаги» похожи на

Опять же, хотя это и является полезным руководством, это всего лишь мнемоника, а не свойство тензоров, поскольку индексы не сокращаются, как в уравнениях, это всего лишь концепция записи. Результаты продолжаются ниже для тензоров более высокого порядка (т.е. для большего числа индексов).

Повышая индексы величин в пространстве-времени, это помогает разложить суммирования на «времениподобные компоненты» (где индексы равны нулю) и «пространственноподобные компоненты» (где индексы равны 1, 2, 3, условно представленные латинскими буквами).

Пример из пространства-времени Минковского

Ковариантная 4-позиция определяется выражением

Чтобы поднять индекс, умножьте на тензор и сократите:

Итак, контрвариантная 4-позиция с повышенным индексом:

Тензоры (высший порядок)

Заказ 2

Для тензора порядка 2 двойное умножение на контравариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам увеличивает каждый индекс:

а двойное умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам понижает каждый индекс:

Пример из классического электромагнетизма и специальной теории относительности

(Ковариантный) нижний индексированный тензор тогда будет:

Заказать n

Для тензора порядка n индексы увеличиваются (в соответствии с приведенным выше):

а для смешанного тензора:

Источник

Поднятие и опускание индексов

В целом вся операция (6.2) называется поднятием индекса. Эта операция обратима. Обратная операция называется опусканием индексов:

Подобно (6.2), операция опускания индекса (6.3) включает в себя две операции над тензорами: тензорное произведение и свертку.

Тензоры в криволинейных координатах

достаточное число раз непрерывно дифференцируемой. В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точки принадлежат области .

Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каждой точке М могут быть приняты за векторы аффинного репера Таким образом, задание криволинейных координат в области влечет появление в каждой ее точке М вполне определенного аффинного репера Этот аффинный репер мы будем называть локальным репером в точке М.

Когда в качестве частного случая криволинейных координат мы берем аффинные координаты, функция (7.1) принимает вид:

и локальный репер в каждой точке М имеет те же векторы, что и основной репер, на котором построена данная аффинная координатная система.

Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладали аффинные координаты точек: приращения этих координат при переходе из точки в точку выражали координаты вектора смещения :

(говоря о координатах вектора, мы всегда будем иметь в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не имеют смысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффинных координат точек.

Для криволинейных координат эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности данной точки М.

Смещаясь из точки в бесконечно близкую точку ,мы находим вектор смещения , как приращение радиуса вектора х точки М:

Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем:

Таким образом, при помощи локального репера криволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда, теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.

Можно сказать также, что приращения криволинейных координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают с точностью 1-го порядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного в точке М.

Естественно, что, занимаясь геометрией аффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться с локальными реперами.

Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованию

которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно дифференцируемым в обе стороны. Выражая, обратно,

мы можем считать в уравнении (7.1) радиус-вектор х сложной функцией от . Частная производная по выразится тогда по известной формуле:

В правой части по i, конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат. Окончательно получаем:

мы видим, что (7.7) представляет собой ее частный случай, когда

Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле

то всегда будем подразумевать сказанное выше.

Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке М, а значит, и преобразование координат тензора по обычному тензорному закону:

Следовательно, закон преобразования (7.10) принимает вид

Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля по закону (7.12). При этом частные производные по и обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.

Источник

Тензоры_евкл_простр.doc

§18. Тензоры в евклидовом пространстве.

1º. Фундаментальный метрический тензор.

Определение 1. Сопоставим каждому базису матрицу Грама , где , этого базиса. Определяемый этим тензор типа называется фундаменталный метрическим тензором пространтсва.

Д.З. Доказать, что — тензор типа .

В примере, рассмотренном в 1º параграфа 16 было показано. Что компоненты матрицы определяют тензор типа с компонентами .

Д.З. Доказать ещё раз.

Определение 2. Тензор с компонентами , называется контравариантным метрическим тензором. В силу симметричности имеем, что также симметричен.

2º. Поднятие и опускание индексов.

При опускании индекса тензору типа сопоставляется тензор типа , получаемый свёртыванием данного тензора с ковариантным метрическим тензором по тому индексу, который мы хотим опустить.

Например, .

При поднятии индекса данный тензор сворачивается с контрвариантным метрическим тензором по тому индексу, который следует поднять. Результатом будет тензор типа .

Например, .

3º. Евклидовы тензоры.

При изучении евклидова пространства можно ограничиться лишь рассмотрением ортонормированных базисов. Тогда матрицы перехода в этом случае являются ортогональными, т.е. удовлетворяют соотношению , т.е. если , , то . Поэтому закон преобразования компонент тензора записывают в виде . Здесь используется знак , так как нарушено правило тензорного суммирования: всегда верхние индексы, слева — верхний индекс, справа – нижний. Это означает, что последнее равенство не является инвариантным: оно справедливо лишь в ортонормированных базисах.

Так как в ортонормированном базисе , то в ортонормированном базисе совпадают компоненты тензоров, отличающихся друг от друга на поднятие или опускание индекса, действительно, . Отметим, что при этом важно в каком порядке рассматриваются индексы.

Из сказанного следует, что ограничиваясь лишь ортонормированным базисом, мы можем отождествить все тензоры, получаемые один из другого поднятием или опусканием индекса. Множество таких эквивалентных тензоров называют евклидовым тензором.

Евклидовый тензор определяется валентностью , и все индексы мнимые: .

Евклидовы тензоры можно свертывать, альтернировать и симметрировать на любой паре индексов.

При переходе к другому базису имеем:

, т.е. показали, что компоненты дискриминантного тензора одинаковы во всех ортонормированных базисах одной ориентации с исходными и отличаются знаком в базисах противоположной ориентации.

Для неортонормированных базисов евклидовы тензоры доопределяются.

4. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора.

Рассмотрим контавариантный вектор типа с компонентами . С помощью его можно преобразовать в ковариантный тензор с компонентами : .

При этом . Зачастую величины и называют контравариантными и ковариантными компонентами одного и того же вектора . Они получаются как разложение по базису и взаимному с ним базису . Действительно:

Умножим на .

Источник