положительный индекс инерции квадратичной формы

Закон инерции и знакоопределенность квадратичных форм

Закон инерции вещественных квадратичных форм

Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму можно привести к каноническому виду

при помощи линейной невырожденной замены переменных с действительной матрицей (см. теорему 6.1 и п.2 замечаний 6.4). Коэффициенты квадратичной формы являются действительными числами.

то получим нормальный вид квадратичной формы

в котором коэффициенты равны либо единице, либо минус единице (переменные входят с нулевыми коэффициентами).

Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.

Из теоремы 6.3 следует, что два канонических вида одной и той же квадратичной формы имеют:

а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (которое определяется рангом квадратичной формы);

б) одинаковое количество слагаемых одного знака.

В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к нормальному виду (6.19)

Знакоопределенность вещественных квадратичных форм

Пример 6.11. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм

Решение. 1) Выделим полный квадрат по переменной

Следовательно, данная форма положительно определенная.

3) Квадратичная форма неопределенная, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, 0,

2. Дискриминант положительно определенной квадратичной формы больше нуля, т.е. 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFMAAAARBAMAAABTDI1UAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAD3RSTlMAAcBBF4GZW9AxsOCC8HGfqzT7AAABcklEQVQoz2NgoAywTMAl80gdTYBNEV2JswOEnvYVQnPCJOwvouvdqgRRywxVKiQAoRn7P6IpjXZgWoCi1AiqVDwXrJSvEKaS8RoD+0+4UkagskVQpd5On8F0RQhUKVAB8z8gzb4o/SsDS1Cbg9XvUAOwTDoTRKkgTC3fHwbmX0A6e8KMrwweC6S2OHcYg93O0sj1GWpxRQqY5gGa+glo6HeQ+fETOL8zKgmAXcBkwAp1PIOAEVgtK0Qp00eQ0v3Gxt+ASsHyRcZmX+EeMlqJMFUWpJTx/5kz4VClLE1KGt/gSq00EUolwEr3g1QpMRaAxAPA4tDwy4SFANAiti8gKn8CgztQqQLQHG8BuFLGIoi3WL6BvMTAco2B7ZuAbwtDMsNaF2CUcLYBvfob4uqKFEYII9uBqwFIzWhV+/+RU1epgGFuBzCw7v9PAOJv4KAKYYS6w0kvG5zYXFgmCjCwTASyQFhQEIRBhvEdQSSCqcDIAQA2IGnMbGi0ggAAAABJRU5ErkJggg==»/>.

4. Для отрицательно (неположительно) определенных квадратичных форм справедливы утверждения аналогичные пунктам 1-3, так как знаки форм и противоположные.

Критерий Сильвестра

Теорема 6.4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы вещественная квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (6.20) следует из теоремы 6.3 (теоремы Якоби), так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду

Критерий полуопределенности квадратичной формы

Теорема 6.5 (критерий полуопределенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны.

Для неположительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы удовлетворяли условиям:

Условия (6.22) означают, что главные миноры четного порядка должны быть неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны. Для доказательства теоремы используется критерий Сильвестра.

Пример 6.12. Выяснить знакоопределенность квадратичных форм с матрицами

главные миноры первого порядка: ;

главные миноры второго порядка: ;

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$ x_ <1>$	$ x_ <2>$	$ x_ <3>$
$ x_ <1>$	$ f_ <11>$	$ \frac<1><2>f_ <12>$	$ \frac<1><2>f_ <13>$
$ x_ <2>$	$ \frac<1><2>f_ <12>$	$ f_ <22>$	$ \frac<1><2>f_ <23>$
$ x_ <3>$	$ \frac<1><2>f_ <13>$	$ \frac<1><2>f_ <23>$	$ f_ <33>$

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Классификация квадратичных форм

Классификация квадратичных форм

Общий Фактический индекс инерции и отрицательный индекс инерции совпадают с индексом инерции. Людмила Фирмаль

Следующее предложение верно. Квадратичная форма A (x, x) определяется как Знак n-мерного линейного пространства L был ясен Индекс положительной инерции р, Является ли отрицательный инерционный индекс q равным измерению n pro Страна L Кроме того, если p = n, форма является положительно определенной. Если q = n, формат отрицательно определен.

Давайте докажем это утверждение: Чередовать вторичные формы, Положительный и Индекс отрицательной инерции этой формы не был нулевым. Доказательство. 1) Нужно. Так как знак Форма обмена принимает как положительные, так и отрицательные Значение и его представление G.35) в нормальной форме.

2 °) попеременно необходимые и достаточные условия Форма ратификации. Людмила Фирмаль

Сохранить как положительные, так и отрицательные условия (в В противном случае эта форма неотрицательна или Непозитивное значение). Поэтому с положительным Индекс отрицательной инерции не равен нулю. 2) Достаточно. Пусть p 0 0 и q 0. 0. Далее для вектора XI Координаты 771φ0, …, r \ vφ0,% + i = 0, …, r \ n = 0, P = для вектора X2 с A (xi, xi)> 0 и координатами 771 = 0, …, r] = 0, r] p + 1Φ0, …, γnф0 A (x2, xr)

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L_n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение :

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j(а) > 0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство. Þ Пусть j(а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4х₁ 2 – х₁х₂ + 3х₂ 2 – х₂х₃ + 6х₂х₄ = (4х₁ 2 – х₁х₂ + ) – + 3х₂ 2 – х₂х₃ + 6х₂х₄ =

= (2х₁– ) 2 + ( х₂ 2 –

= (2х₁– ) 2 + ( – =

= (2х₁– ) 2 + ( – . Отсюда следует, что ранг данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).

2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 0. Уже отсюда следует, что форма не является положительно определённой (теорема 69).

3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М₁ = 4 > 0, М₂ = = 5,75 > 0, М₃ = 1,25 > 0,

М₄ = ½А½= 14,25 > 0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.

Источник

Положительный индекс инерции квадратичной формы

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Закон инерции квадратичных форм Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм

1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е₁, е₂. е _n ) определяется матрицей А(е) = (а _ij ):

причем λ₁, λ ₂. λ _k — отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые q из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты — отрицательные:

В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид

(это преобразование представляет собой произведение преобразований ξ в μ и μ в η пo формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду

Источник