построить плоскость по индексам миллера

Индексы Миллера

В кристалле

Образование плоскостей и направлений

Для обозначения кристаллографических плоскостей в настоящее время общепринятой является система индексов Миллера. Поясним ее сущность.

Выберем систему координат, оси которых совпадают с тремя ребрами элементарной кристаллической ячейки. Начало координат поместим в одном из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра. Осевые единицы выберем равными длине ребер кристаллической ячейки, т. е. масштаб по оси X будет равен а, по оси Y – b и по оси Z – с. Разномасштабность осей координат вполне оправдывает себя, так как позволяет ввести наиболее рациональную систему индексов. Положение любой плоскости в пространстве определяется тремя точками. В выбранной системе координат удобно в качестве трех опорных точек взять точки пересечения заданной плоскости с осями координат. Пусть определяемая узловая плоскость S пересекает оси координат в точках А, В, С (рисунок 2.5) и отсекает по осям отрезки х = 1, y = 2, z = 3.

Далее поступают по следующей схеме;

1) берут отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат: 1:2:3;

2) берут величины, обратные этим отрезкам: ;

3) приводят к общему знаменателю: ;

4) отбрасывают знаменатель: 6:3:2 – индексы Миллера для плоскости.

Миллеровские индексы плоскостей заключаются в круглые скобки – (632), знак отношения между индексами не ставится.

Если плоскость параллельна какой-либо оси, ее проекция на эту ось равна бесконечности. Для такой плоскости соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость отсекает некоторый отрезок с отрицательным знаком, то соответствующий индекс Миллера будет также отрицательным, и черточка ставится сверху над индексами.

Рассмотрим пример кубической решетки. Нас интересует плоскость abcd (рисунок 2.6). Пусть ребро куба равно 1. Плоскость abcd имеет индексы Миллера (100). Если мы хотим обозначить не одну плоскость, а семейство плоскостей, то индексы Миллера берутся в фигурные скобки <100>.

Плоскость cdeq имеет индексы Миллера (101). Плоскость deg имеет индексы Миллера (111). Таким образом, мы описали три основные плоскости для кубической решетки (рисунок 2.7).

Индексы Миллера для направления представляют собой набор целых чисел, отношение которых друг к другу равно наименьшим проекциям вектора, параллельного выделенному направлению, но проходящего через начало координат. Индексы Миллера для направлений в отличие от индексов Миллера для плоскостей помещаются не в круглые, а в квадратные скобки.

Рассмотрим тот же пример кубической решетки (рисунок 2.6):

Направление ОХ: [100].

Направление ОА: [101].

Направление перпендикулярное плоскости (111): [111].

Плотность упаковки

Смоделируем частицы в узлах кристаллической решетки в виде идеальных (не деформированных) соприкасающихся шаров. Тогда плотность упаковки (коэффициент упаковки или компактность данной решетки) представляет собой отношение объема, занимаемого шарами в элементарной ячейке, ко всему объему самой элементарной ячейки. В качестве примера рассмотрим примитивную кубическую ячейку (рисунок 2.8).

Пусть радиус шара r. Тогда длина ребра куба 2r. Объем одного шара . Внутрь попадает часть шара . Таких шаров 8, и каждый принадлежит ячейке на 1/8. Тогда объем, занимаемый шарами внутри ячейки, . Объем ячейки: . И плотность упаковки: f = = = 0,52.

Источник

Есть также несколько связанных обозначений:

В контексте направлений кристалла (а не плоскостей) соответствующие обозначения:

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Содержание

Определение

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

То есть (hkℓ) просто указывает нормаль к плоскостям в базисе примитивных векторов обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в заданном направлении.

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

То есть вместо обратной решетки используется базис прямой решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не нормально к плоскостям (hkℓ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки равно (сверху)

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

Для гранецентрированных кубических и объемноцентрированных кубических решеток векторы примитивной решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической сверхъячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур

Эта четырехиндексная схема для маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) более очевидно, когда показан избыточный индекс.

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают, подобным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

Обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они имеют вид

Кристаллографические плоскости и направления

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Источник

Символические обозначения плоскостей и направлений в кристаллах. Индексы Миллера.

Анизотропия кристаллов приводит к необходимости выделять и оп­ределенным образом обозначать различные плоскости и направления в кристалле. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси оказываются параллельными осям симметрии кристалла или перпендикулярными плоскостям симметрии. Координаты в такой системе измеряются в единицах, равных межатомным расстояниям в данном направлении. Эти расстояния называются еще постоянными решетки или параметрами решетки. Положение какой-либо плоскости однозначно определяется координатами любых трех точек этой плоскости, например тех, в которых плоскость пересекается осями координат (рис.1.6.1).

Пусть оси I, II и III являются координатными осями и нуж-но определить плоскость S. Если, например, плоскость пе-ресекает ось I в точке на расстоянии в 4 единицы (т.е. 4 межатомных расстояния), ось II на расстоянии в 1 единицу и ось III на рас-стоянии в 2 единицы, то положение плоскости задается тройкой чисел 4,1,2. Однако в кристаллографии принято пользоваться для обозначения плоскостей не этими числами, а особыми индексами Миллера, которые определяются следующим образом. Берутся обратные значения полученных координат точек пересечения плоскостью координатных осей и эти дроби приводятся к одному знаменателю. Знаменатель отбрасывается, а числители полученных дробей и дают индексы Миллера. Для рассмотренного на чертеже примера координаты равны 4,1,2. Их обратные значения дадут дроби 1/4; 1/1; 1/2. Общий знаменатель дробей – 4. Числители или индексы Миллера оказываются равными 1, 4, 2. Эти индексы записываются в круглых скобках и читаются раздельно (142). Такой набор индексов определяет не одну плоскость, а все семейство параллельных плоскостей. Если рассматриваемая плоскость параллельна одной из осей, т.е. пересекает ее в бесконечности, то соответствующий индекс равен нулю. На рисунке 1.6.2 указаны индексы наиболее важных плоскостей кубического кристалла.

Направленияв кристалле также задаются индексами, которые определяются следующим образом. Вдоль определяемого направления выбирают некоторый вектор произволь­ной длины и определяют величины составляющих вектора по осям координат в единицах постоянной решетки. Тогда индексами этого направления будут три наименьших целых числа, отношения которых между собой равны отношениям составляющих вектора. Если компоненты вектора равны, например 6, 4, 8 единицам, то индексами соответствующего этому вектору направления будут 3,2, и 4. Эти числа заключаются в квадратные скобки [324].

Дефекты в кристаллах.

Атомы в кристаллах располагаются в местах, которые соответствуют их равновесным положениям. Однако это не означает, что они находятся в покое. Как в газах и жидкостях, атомы твердого тела находятся в беспрерывном тепловом движении, но характер его отличается от рассмотренных ранее движений молекул газов или жидкостей. Движения атомов в твердом теле имеют характер малых колебаний около положения равновесия, и эти движения определяют температуру твердого тела.

В реальных кристаллах в той или иной мере нарушается правильность в расположении атомов. Уже сами тепловые движения нарушают регулярность кристаллической структуры. С изменением температуры изменяется и степень нарушения периодичности решетки за счет тепловых движений атомов. Такие нарушения существуют всегда, и они служат фоном для всех других явлений, происходящих в кристаллах. Этим в первую очередь объясняется зависимость свойств кристаллов от температуры. Все другие нарушения периодичности решетки, которые не сводятся к тепловым движениям, называются дефектами.

Все дефекты оказывают весьма существенное влияние на свойства кристаллов. Наиболее важными дефектами являются следующие:

Дефекты типа Шоттки. В реальных кристаллах некоторые узлы кри-сталлической решетки, в которых должны находиться атомы, оказываются незанятыми. Такие вакансии (отсутствие атома в узле решетки) вызывают смещение соседних атомов относительно их нормального положения, что приводит к нарушению строгой регулярности решетки вблизи вакансии. (Рис.1.7.1)

Дефекты по Френкелю, Они возникают в том случае, когда атом покидает свое место в узле кристаллической решетки и размещается в междоузлии в окружении атомов, расположенных на своих законных местах. Возникают сразу два дефекта (пара Френкеля), так как пустой узел и атом в междоузлии в равной мере нарушают правильность решетки (Рис.1.7.2).

Дислокации. Этот вид дефектов возникает в случае, когда между атомными плоскостями вклинивается неполная дополнительная атомная плоскость. Если дефекты по Шоттки и Френелю являются точечными, то дислокации представляют собой линейные дефекты, так как наибольшие искажения кристаллической решетки наблюдаются вдоль края липшей атомной плоскости (Рис.1.7.3).

Примеси. Некоторые места в узлах кристаллической структуры могут быть заняты посторонними атомами.

-Раствор внедрения (Рис.1.7.4);

-Раствор замещения (Рис.1.7.5).

Такие химические примеси оказывают очень сильное влияние на электрические свойства полупроводников и используются как инструмент регулирования электрических характеристик.

Существуют и другие виды дефектов, а также разновидности названных.

Вопросы для повторения:

1. Дать определение твердого тела.

2. Разделите твердые тела на пять классов в зависимости от типа связей между атомами.

3. Какова природа сил взаимодействия между атомами в кристалле.

4. Какое твердое тело мы называем кристаллом.

5. Дайте определение трансляционной группы и элементарной ячейки.

6. Перечислите элементы симметрии.

7. Что называется классом симметрии?

8. Перечислите по памяти 7 сингоний. Какая из них обладает наивысшей симметрией.

9. Опишите особенности сил взаимодействия в кристаллах :

— c ван-дер-ваальсовскими связями

— с ковалентной связью

— с водородной связью

— с металлической связью

2. Как обозначаются направления и плоскости в кристаллах.

11.Дефект в кристалле. Какие типы дефектов вы знаете?

Резюме по теме:

В процессе изучения темы мы ознакомились с понятием твердого тела, природой сил взаимодействия в твердом теле и типами связей в твердом теле. Кроме того, получили представление об основах кристаллографии и типах дефектов в кристалле.

Тема 2. Элементы зонной теории твердого тела. Цели и задачи изучения темы:

Целью изучения данной темы является ознакомление с эле-ментами зонной теории твердого тела (ТТ) и некоторыми положе-ниями квантовой механики лежащими в её основе.

Источник

Индексы Миллера сформировать систему обозначений в кристаллография для самолетов в кристаллические (Браве) решетки.

В частности, семья плоскости решетки определяется тремя целые числа час, k, иℓ, то Индексы Миллера. Они записываются (hkℓ) и обозначают семейство плоскостей, ортогональных час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> , куда б я < displaystyle mathbf >> являются основа из обратная решетка векторов (обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации векторов прямой решетки час а 1 + k а 2 + ℓ а 3 < Displaystyle ч mathbf <а_ <1>> + к mathbf <а_ <2>> + ell mathbf <а_ <3>>> поскольку векторы решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональными). Условно, отрицательные целые числа пишутся чертой, как в 3 для −3. Целые числа обычно записываются младшими членами, т. Е. Их наибольший общий делитель должно быть 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в Рентгеновская кристаллография. В этом случае целые числа не обязательно являются наименьшими, и их можно рассматривать как соответствующие плоскости, разнесенные таким образом, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно на одну длину волны (2π), независимо от того, есть ли атомы на всех эти самолеты или нет.

Есть также несколько связанных обозначений: [1]

В контексте хрусталя направления (не плоскости) соответствующие обозначения:

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Содержание

Определение

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: [1] через точку в обратная решетка, или как обратное пересечение вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае нужно выбрать три вектора решетки а₁, а₂, и а₃ которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка Решетка Браве, как примеры ниже иллюстрируют). По ним также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначенные б₁, б₂, и б₃).

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

То есть (hkℓ) просто указывает на нормаль к плоскостям в основа векторов примитивной обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование самых низких сроков означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в заданном направлении.

Эквивалентно (hkℓ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки а₁/час, а₂/k, и а₃/ℓ, или несколько таковых. То есть индексы Миллера пропорциональны обратное пересечений плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление:

Случай кубических структур

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаются а), как и обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера (hkℓ) и [hkℓ] просто обозначают нормали / направления в Декартовы координаты.

Для кубических кристаллов с постоянная решетки а, интервал d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки (сверху)

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

За гранецентрированная кубическая и объемно-центрированная кубическая решетки, примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейка и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур

С шестиугольник и ромбоэдрический решетчатые системы, можно использовать Браве-Миллер система, использующая четыре индекса (час k я ℓ), которые подчиняются ограничению

Здесь час, k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а я является избыточным индексом.

Эта четырехиндексная схема для маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, подобие (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) становится более очевидным, когда отображается избыточный индекс.

Это также для этого случая схемы (например, в просвечивающая электронная микроскопия литературу) для индексации гексагональной решетки векторов (а не вектора обратной решетки или плоскости) с четырьмя индексами. Однако они не работают, аналогичным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

Например, вектор обратной решетки (hkℓ), как предложено выше, может быть записан в терминах векторов обратной решетки как час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки а₁, а₂ и а₃ в качестве

Обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они имеют вид

Кристаллографические плоскости и направления

Кристаллографические направления: линии связывающие узлы (атомы, ионы или же молекулы) кристалла. Аналогичным образом кристаллографические самолеты находятся самолеты связывающие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение является физически значимым. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость (abc), на которой «индексы» Миллера а, б и c (как указано выше) не обязательно являются целыми числами.

Если а, б и c имеют рациональный отношений, то это же семейство плоскостей можно записать в терминах целочисленных индексов (hkℓ), масштабируя а, б и c соответственно: разделите на наибольшее из трех чисел, а затем умножьте на наименьший общий знаменатель. Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Особый интерес представляют плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, заключается в том, что это плоскости решетки: это единственные плоскости, пересечение которых с кристаллом 2d-периодично.

Для плоскости (abc), где а, б и c имеют иррациональный отношений, с другой стороны, пересечение плоскости с кристаллом нет периодический. Он образует апериодический паттерн, известный как квазикристалл. Эта конструкция в точности соответствует стандартному методу определения квазикристалла «разрезать и спроектировать» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как Плитка Пенроуза, образованы «разрезами» периодических решеток более чем в трех измерениях, включая пересечение более чем одного такого гиперплоскость.)

Источник