ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ
Различают три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся.
Вопрос о взаимном расположении двух прямых сводится к определению или взаимного расположения их проекций, величин углов падения (заложений) и направлений падения, или взаимного расположения двух точек, принадлежащих данным прямым.
Пересекающиеся прямые. Пересекающиеся прямые имеют общую точку (рис.2.12). Следовательно, на плане проекции таких прямых пересекаются, причем точка пересечения имеет одинаковую отметку. Отметку общей для прямых точки определяют либо интерполированием прямых (рис.2.13), либо построением их профилей (рис.2.14).
Решая задачу первым способом, построение выполняют в следующем порядке: прямую а интерполируют делением отрезка M4N8 на четыре равных части, а прямую в интерполируют с помощью масштаба заложений. Отметка искомой точки А и в одном, и в другом случаях равна 5,5 м, следовательно, точка А является общей для прямых a и b. На рис.2.14 дан другой способ решения задачи. Построив профиль прямых m и n, определяют отметку искомой точки С. В обоих случаях она равна 1,8 м. В целях сокращения количества построений плоскость профиля прямой m совмещают с плоскостью профиля прямой n. При построении профилей прямых расстояние между основаниями точек А и В берут произвольным. В решении графических задач рассмотренный вид построения профилей носит название сводного разреза.
Скрещивающиеся прямые. Прямые не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. Возможны три случая расположения двух скрещивающихся прямых (рис.2.16):
1) проекции прямых m и n пересекаются, но точка пересечения имеет разные числовые отметки, она является проекцией конкурирующих точек А и В, расположенных на одном и том же проецирующем луче (рис.2.16, а);
2) проекции прямых а и b параллельны, но углы падения не равны: Ða a ¹ Ða b ; заложения также не равны: l a ¹ l b (рис.2.16, б);
3) проекции прямых d и t параллельны, заложения равны, но направления падения не совпадают: пад.D(рис.2.16, в).
На рис.2.17 взаимное расположение прямых m (А15Ð20°) и n (В12,5Ð35°) определяется построением профиля сводного разреза, из которого следует, что точка пересечения проекций прямых является проекцией двух различных точек пространства, через которые проходят прямые m и n. Высота точки С не равна высоте точки D. Следовательно, прямые m и n скрещиваются, причем прямая m проходит над прямой n. Отметим еще один признак, пользуясь которым можно отличать пересекающиеся прямые от скрещивающихся: прямые линии, соединяющие точки с одинаковыми отметками, и в случае пересекающихся прямых a и b взаимно параллельны (рис.2.18, а), в случае скрещивающихся прямых m и n не параллельны друг другу (рис.2.18, б).
Взаимно перпендикулярные прямые. Линейный угол, образованный двумя пересекающимися прямыми, проецируется без искажения, если обе стороны угла параллельны плоскости проекций. Однако прямой угол проецируется без искажения и том случае, если только одна из его сторон параллельна плоскости проекций. На рис.2.19 изображен прямой угол АВС, стороны которого параллельны плоскости П0. Он проецируется без искажения, т. е. ÐА2В2С2 = ÐАВС. Отметим на проецирующем луче АА2 произвольную точку D и соединим ее с точкой В. Полученный угол DBC – тоже прямой, так как отрезок ВС перпендикулярен к плоскости АВВ2А2. Точки D и A лежат на одном перпендикуляре к плоскости П0,
Взаимное расположение двух прямых
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными , пересекающимися и скрещивающимися . Рассмотрим подробнее каждый случай.
1. Параллельные прямые линии.
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Рисунок 33. Параллельные прямые
Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3 4 ). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П 3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:
Рисунок 34. Прямые параллельные профильной плоскости проекций
2. Пересекающиеся прямые.
Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3 5 ).
Рисунок 35. Пересекающиеся прямые
В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:
1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.3 6 ), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.
2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3 7 ).
О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции ( А 1В1 ∩ С 1D1 Þ АВ ∩ СD ).
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Открытый электронный ресурс:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)
1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.
Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ
Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.
Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)
Рисунок 4 – сонаправленные лучи
Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)
Доказательство:
при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.
Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.
На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.
2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.
Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.
3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.
4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.
По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.
5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.
Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами
Прямая на плоскости – необходимые сведения
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Взаимное расположение прямой и точки
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Две прямые на плоскости могут совпадать.
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
Две прямые на плоскости могут быть параллельны.
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
Рассмотрим это на рисунках.
Способы задания прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Взаимное расположение двух прямых
Пусть заданы две прямые, пересекающиеся под углом φ. Уравнение первой из них y = k 1 x + b 1 с угловым коэффициентом k 1 = tg α 1 ; аналогично, уравнение другой прямой y = k 2 x + b 2 с угловым коэффициентом k 2 = tg α 2 (рис. 2.2).
Рассмотрим частные случаи этой формулы.
– условие перпендикулярности прямых на плоскости. Условие (2.8) можно прочесть: у перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
– условие параллельности прямых на плоскости : у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
Найти: 1) величину внутреннего угла треугольника при вершине A .
Решение. 1). Обозначим 
тогда согласно формуле (2.7) тангенс внутреннего угла при вершине A равен
Математическое программирование представляет собой дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения. В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции
Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование, для решения задач которого разработан целый ряд методов, алгоритмов и программ.
Общей задачей линейного программирования является задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции (линейной формы)
Указанные три формы задач линейного программирования (общая, стандартная, каноническая) эквивалентны в том смысле, что каждая их них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач.
Найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции
Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция F принимает свое максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня c 1 x 1 + c 2 x 2 = h ( h – некоторая постоянная), проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать ее в направлении вектора 
до тех пор, пока она не пройдет через последнюю ее общую точку с многоугольником решений. Координаты этой точки и определяют оптимальный план данной задачи.
В заключение геометрической интерпретации задачи (2.14)–(2.16) отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться следующие случаи:
– целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке;
– целевая функция принимает максимальное значение на отрезке;
– целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений;
– система ограничений задачи несовместна.
Таким образом, можно составить алгоритм нахождения решения задачи линейного программирования (2.14)–(2.16) на основе ее геометрической интерпретации.
1. Строят прямые, уравнения которых получают из системы ограничений (2.15) и (2.16) заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
3. Находят многоугольник решений.
7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Пример 2.4. Кондитерская фабрика для производства двух видов карамели А и В использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство карамели данного вида приведены в таблице 2.1.
В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 тонны карамели данного вида.
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.
Найдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в последней системе заменим знаки неравенств на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые:
Эти прямые изображены на рисунке 2.3.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую–нибудь точку одной из полуплоскостей. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.
Например, найдем полуплоскость, определяемую неравенством 0,8 x 1+0,5 x 2≤550. Для этого, построив прямую 0,8 x 1+0,5 x 2=550 (на рисунке 2.3 это прямая I ), возьмем какую–нибудь точку, принадлежащую одной из двух полученных полуплоскостей, например, точку O (0;0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству 0,8∙0+0,5∙0 O (0;0), определяется неравенством 0,8 x 1+0,5 x 2≤550. Это показано на рисунке 2.3 стрелками.
Если теперь взять какую–нибудь точку, принадлежащую построенной прямой и многоугольнику решений, то ее координаты определяют такой план производства карамели вида А и В, при котором прибыль при их реализации равна 44800 руб. Далее, полагая равным некоторому числу, большему, чем 44800, мы будем получать различные параллельные прямые. Если они имеют общие точки с многоугольником решений, то эти точки определяют планы производства карамели видов А и В, при которых прибыль при их реализации, превзойдет 44800 руб.
