взаимное расположение трех плоскостей

§ 83. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы три плоскости общими уравнениями:

Введем следующие обозначения:

И обозначим главные векторы данных плоскостей так:

На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные признаки взаимного расположения трех плоскостей.

1. Если , то три данные плоскости имеют и притом только одну общую точку, т.к. в случае система (1) имеет и притом только одно решение: это решение, т.е. координаты единственной общей точки, принадлежащей трем данным плоскостям, мы получим, решив систему (1) (например по формулам Крамера) (рис. 129 а).

2. Если , и среди главных векторов нет коллинеарных, то система несовместна ; плоскости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны (рис. 129 б).

Источник

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Три плоскости в пространстве могут располагаться так и только так, как показано в следующей таблице.

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют общую прямую

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют общую прямую

Источник

Взаимное расположение трёх плоскостей

Три плоскости могут располагаться в пространстве 8-ю способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение.

Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты!

На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве.

Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

Пример 2: Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Ответ:

Пример 4: Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам :

Ответ:

Пример 7: Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси , то вектор является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке и вектору нормали :

Ответ:

Пример 11: Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два:

Используем формулу

Ответ:

Пример 13: Решение: Обозначим . Используем формулу:

За угол между плоскостями примем острый угол:
Ответ:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

УравнениЯ прямой в пространстве

Здравствуйте-здравствуйте! Впервые или снова, но очень рад вас видеть! Продолжаем знакомиться с пространственной геометрией – миром, в котором мы живём. На первом уроке мы вдоль и поперёк рассмотрели уравнение плоскости, а сейчас очередь дошла до моей очередной жертвы – прямой в пространстве. Если ваш уровень подготовки не очень высок, пожалуйста, начните с предыдущей статьи, там же есть путеводитель для чайников – тех, кто проходил мимо векторов пару раз и очень давно.

В данном разделе мы разберём вопросы, связанные с уравнениЯМИ прямой в пространстве, посмотрим, как может располагаться прямая относительно координатных плоскостей, координатных осей и научимся решать типовые задачи. Я добросовестно постараюсь рассказать всё самое главное, что связано с пространственными прямыми.

Начнём с уравненИЙ прямой в пространстве. Для лёгкого понимания темы целесообразно хорошо проштудировать уравнение «плоской» прямой, поскольку будет очень много похожих вещей. Но будут и отличия, на одно из которых вы уже наверняка обратили внимание. Я выделял большими буквами окончание слова «уравнение», подчеркивая, что оно находится ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ. И это не случайно, своеобразие пространственной прямой состоит в том, что она задаётся не одним уравнением, а некоторым множеством уравнений. Высшая математика не озадачивает нас улыбкой Джоконды, поэтому надвинем на лоб строгую параллельность морщин и приступим к делу:

Источник

77. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0, A32 + B32+ C32 ≠ 0. Рассмотрим систему трех уравнений

(5)

Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. Rang A = Rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. Rang A = Rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. Rang A = Rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).

4. Rang A =2, Rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. Rang A =1, Rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Источник

Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и .

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между векторами нормалей к ним

и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей и эквивалентно условию коллинеарности векторов и и заключается в пропорциональности координат этих векторов:

Условие перпендикулярности плоскостей и может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Так как , то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями и .

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы и нормалей к ним перпендикулярны и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как , то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:

Найдём определители при неизвестных:

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Пусть даны точка и плоскость . Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

Источник

Читайте также: адрес барахолки в москве

Фигура	Рисунок	Свойство
Три параллельные плоскости
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей